Estimated Breeding Values (EBV)

EBV (Estimated Breeding Value) 란 상대적 유전값 (relative genetic value)으로 육종(breeding), 즉 인간이 원하는 방향으로 생물을 개량하는 데 객관적인 유전적 지표로 사용되어 진다.  아래 전체적인 EBV를 구하는 방법과 그 적용 예를 들어본다.

Contents

Introduction
Theoretical Background
Statistical Model
Computing and Using EBV's
How to use ebb's to make selection decisions
Multiple-trait model

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Introduction

EBV 란 statistical prediction of the relative genetic merit, 곧 개체의 유전적인 유리함이 어떤지에 대한 통계적 예측값이다. 이 값은 육종에 사용된다. 원하는 형질의 EBV가 높은 개체만이 생식하게 나고 그렇지 않은 개체의 생식은 막음으로서 population 이 특정 형질에 특화되는 방향으로 흘러가게 하는 것이다.


Theoretical Background

표현형(phenotype) 은 고기의 지방함량, 사료대비 성장률등의 관측가능한 육체적 형질을 의미한다. 이 phenotype은 아래식과 같이 크게 유전적 요인과 비유전적요인으로 구성되어진다. 유전적 요인은 자손에게 유전이 되며 비유전적 요인은 환경적요인과 그밖에 그 개체에 존재하는 특성들을 의미한다. 비유전적 요인은 크게 fixed effect (sex, year of birth, management condition) 과 그밖에 측정하기 힘든 effect로 나뉜다.

\[ \mbox{Phenotypic observation = Environmental effects + Genetic effects + Residual effects} \]
이를 통계적 모델로 표현하면 아래와 같다.
\[ y_{ij} = \mu_i + g_i + e_{ij} \quad  (1)\]

\( y_{ij}\) = i번째 개체의 j 번째 관측치
\( \mu_i \) = i번째 개체의 fixed  environmental effect
\( g_i \) = i번째 개체의 유전형의 addictive(\(g_a\)), dominance(\(g_d\)), epistatic(\(g_e\)) genectic value의 총 합
\( e_{ij} \) = i 번째 개체의 j번째 관측에서의 random environmental effect의 총합

여기서 \(g_i\)를 (\(g_a\)), (\(g_d\)), (\(g_e\))로 대체하게 되면
\[\begin{eqnarray} y_{ij} & = & \mu_i + (g_a)_i + (g_d)_i + (g_e)_i + e_{ij}  \\  & = & \mu_i + (g_a)_i + e_{ij}^*    & (2) \end{eqnarray} \]
\(e_{ij}^* = (g_d)_i + (g_e)_i + e_{ij}\)

위 2번 식이 \(\mu_i\) 를 알고 있다는 가정하 EBV를 계산하는 기본식이다. 그러나  \(\mu_i\) 를 정확하게 알고 있는 것은 거의 불가능하기 때문에 같은 데이터를 가지고  \(\mu_i\) 와  \((g_a)_i\)를 동시에 구해야 한다. 이 두가지 값을 동시에 구하는 방법이 BLUP (Best Linear Unbiased Prediction) 이다.

BLUP은 동시에  fixed effect에 의해 발생하는 차이 조절하고 집단에서의 가계도에 있는 유전적 관계를 설명하는 과정에서 EBV를 구한다.
BLUP을 이용하기 위해서는 형질에 대한 heritability를 알고 있어야 한다.
BLUP을 표현하는 식으로 mixed model equation 이 있다.
\[ Y = X\beta + Zu + e \quad (3)\]
\(Y \) = vector of observed value
\(\beta \) = vector of fixed effect
\(u \) = vector of random genetic effect (2번식에서 \((q_a)i\) 와 같은 의미)
\(e \) = vector of residual error
\(X, Z \) = design matrix

3번식은 여러 단계를 거쳐 아래와 같은 4번식으로 유도가 된다.
\[ \left[\begin{array}{cc} X'X & X'Z \\ Z'X & Z'Z + A^{-1}\alpha \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \beta \\ u \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} X'Y \\ Z'Y  \end{array}\right] \quad (4) \]
\(A^{-1}\) = \(A\)의 inverse matrix,  A는 가계도를 바탕으로 개체간의 유전적 관계를 수학적으로 나타낸 matrix
\( \alpha \) = (1 - \(h^2\)) / \(h^2\), \(h\) 는 heritability
개체간의 유전적 관계에서 breeding value을 추측할 수 있는 BLUP의 핵심은 \(A^{-1}\) 에 있다.

Animal ID	Sire ID	Dam ID	Sex	Contemporary Group	physical trait Test Score
1	Unknown	Unknown	M
2	Unknown	Unknown	F
3	1	Unknown	M
4	1	Unknown	F
5	Unknown	Unknown	M
6	3	2	M	1	2
7	3	2	F	2	4
8	5	4	M	1	3
9	5	4	F	2	5

table 1
9마리의 개체가 있고 개체간의 가계도는 표1에서 와 같다고 하자. \(A\)는 개체간의 유전적 관계를 나타내는 matrix 로 9X9 diagonal matrix 이다.  \(A\)를 구하는 방법은 아래와 같다.

먼저 위의 표와 같이 가족 관계를 표를 만드는데 부모가 되는 개체가 자식이 되는 개체보다 앞이 되도록 표를 만든다.

for i to n,
    for j to i,

1. 두 부모(s, d)를 모두 아는 경우 \[ \left\{\begin{array}{r1} if \: j < i,  a_{ij} = a_{ji} = 0.5(a_{js} + a_{jd}) \\ if  \: j = i, a_{ii} = 1 + 0.5a_{sd}  \end{array}\right. \]
2. 한쪽 부모(s)만 아는 경우  \[ \left\{\begin{array}{r1}if \: j < i,  a_{ij} = a_{ji} = 0.5(a_{js} \\ if  \: j = i, a_{ii} = 1  \end{array}\right. \]
3. 양쪽 부모를 다 모르는 경우 \[ \left\{\begin{array}{r1}if \: j < i,  a_{ij} = a_{ji} = 0 \\ if  \:   = i, a_{ii} = 1 \end{array}\right. \]

위 방법을 이용하게 되면 \(A\)는 아래와 같이 구해진다.

table2
위의 값이 클수록 두 개체간의 유전적 관계가 밀접한 것을 의미한다. 개체수가 많아질 경우 A row, column의 수는 기하급수적으로 많아지고 \(A^{-1} \) 의 계산은 더욱 힘들어 진다. 1970 중반에 \(A\) 를 구하지 않고 \(A^{-1} \) 를 바로 구할 수 있는 방법이 고안되면서 수십만 개체의 genetic relationship matrix 의 계산이 가능해졌다.


Statistical Model

BLUP이 fixed effect와 genetic effect를 동시에 고려하기 때문에 타당한 fixed effect 의 선택이 되어야만 개체간의 올바른 유전적 비교가 가능하다. fixed effect가 제대로 선택되지 않으면 fixed effect에 대한 효과가 residual error에 포함되어지고 그만큼 모델의 설명력은 떨어지게 된다.  fixed effect에는 sex, 그리고 physical interpretation을 수행한 평가자, 나이, 평가 시기 등이 있다.


Computing and Using EBV's

heritability(h) 를 20%, fixed effect 를 contemporary group이라는 가정하에 예제 표1의 EBV를 계산하면 아래와 같다.
\[ Y = X\beta + Zu + e \]
은
\[ \left[\begin{array}{c} y_6 \\ y_7 \\ y_8 \\ y_9  \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \\ 5  \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\  0 & 1 \end{array}\right]  \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2   \end{array}\right] +  \left[\begin{array}{r1} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1   \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \\ a_7 \\ a_8 \\ a_9  \end{array}\right]  + \left[\begin{array}{c} e_6 \\ e_7 \\ e_8 \\ e_9  \end{array}\right]\]
가 된다.
\[ \left[\begin{array}{cc} X'X & X'Z \\ Z'X & Z'Z + A^{-1}\alpha \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \beta \\ u \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} X'Y \\ Z'Y  \end{array}\right] \quad (4) \]
을 이용하기 위해서 \(A^{-1}\)  와 \( \alpha \)를 구하게 되면

 \(A^{-1}\) 은 아래와 같고

table 3
heritability = 0.2 로 가정하였기 때문에 \( \alpha \) = (1 - 0.2) / 0.2 = 4 가 된다.

4번식에 \(X, Z, A^{-1}, \alpha \) 값을 넣고 계산하게 되면 아래와 같이 fixed effect의 값과 개체의 EBV를 구하게 된다.              
\[ \left[\begin{array}{c} \beta \\ u \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \mbox{Contemporary group 1 average} \\ \mbox{Contemporary group 2 average} \\ EBV 1 \\ EBV 2 \\ EBV 3 \\ EBV 4 \\ EBV 5 \\ EBV 6 \\ EBV 7 \\ EBV 8 \\ EBV 9 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 2.5 \\ 4.5 \\ 0 \\ -0.09 \\ -0.07 \\ 0.07 \\ 0.09 \\ -0.13 \\ -0.13 \\ 0.13 \\ 0.13 \end{array}\right]  \]

How to use EBV's to Make Selection Decisions

EBV 는 그저 germplasm(= collection of genetic resources) 일 뿐 EBV가 높다고 항상 좋은 것은 아니다. phenotype을 disease susceptibility 로 두었다면 EBV 이 최소값을 같는 개체를 선발하는 것이 옳을 것이다.
위의 예의 physical trait를 사료 대비 성장률이라고 성장률을 높이길 원한다는 가정하면 먼저 성별로 개체를 나누고 EBV를 내림차순으로 정렬한다 (표 4).

Male ID	Male EBV	Female ID	Female EBV
8	0.13	9	0.13
5	0.09	4	0.07
1	0.00	2	-0.09
3	-0.07	7
6	-0.13

table 4
trait 을 더욱 강화하고자 한다는 가정하에서는 male은 8번 개체를 female 개체는 9번 개체를 선택한다.



* 위 내응은 https://www.seeingeye.org/images/HowToUseEBV.pdf 를 바탕으로 함.